4.2 Vertauschen der Integrationsreihenfolge

Satz:

Es sei --
G = {[a,b][c,d]} und       --
f  (-  C0(G)  . Dann gilt:
    (            )         (            )
  integral b   integral d                integral d   integral b
         f(x,y)dy  dx =         f(x,y)dx   dy
x=a  y=c               y=c  x=a

Beispiel:
G = {(x,y)| 1 < x2 + y2 < 4}

       integral  integral 
I(G) =     d(x,y)
       G

I(G) = 4 (I(G1) +I(G2))

          (    ----  )
         integral 1   V~  integral 4- x2
I(G1) =             dy   dx = 1 V~ 3 + p
              V~ ----          2     12
       x=0 y=  1- x2

          (         )
         integral 2  V~ 4- integral -x2
I(G2) =           dy  dx = -1 V~ 3 + 2p
                            2      3
       x=1   y=0

G = {(r,f)|1 < r < 2,0 < f < 2p}

Wir können ein Integral approximieren durch eine Summe:

 integral  integral               sum N  sum M
   f(x,y)d(x,y) ~      f(pjk)Djk
G                j=0k=0

Problem:

Wir wollen den Flächeninhalt des Gebietes G  berechnen. Deshalb führen wir eine Koordinatentransformation     *         *
F : G '--> G,F (G ) = G  durch: F  soll injektiv und stetig differenzierbar sein.

detF (u,v) /= 0

Wir approximieren den Flächeninhalt:

I(Q) ~ ||a b||

a = F(u +Du, v)- F (u,v) = D1F(u,v)Du + o(| Du |)

b = F(u,v+ Dv) - F (u,v) = D2F (u,v)Dv + o(| Dv|)

D F (u,v),D F (u,v)] = F '(u,v) = J (u,v) :||ab||~ ||D F(u,v) D F (u,v)|| DuDv
 1         2                  F               --1------  --2------
                                                    detF'(u,v)

   integral   integral          integral   integral 
       d(x,y) =    det(F '(u,v)d(u,v)

F(G*)=G        G*

Beispiel:

Wir verwenden Polarkoordinaten u = r  und v = f  :

         ( )   (      )
F (r,f) =  x  =  r cosf
          y     r sinf

     '
detF (r,f) = r

 integral  integral          integral 2p  integral 2
    d(x,y) =        rdrdf = 3p
 G         f=0 r=?1

d(x,y) = |detF '(u,v)| d(u,v)

Flächenelement in (x,y)  -Koordinaten <==> Flächenelement in (u,v)  -Koordinaten (Flächenelement in Polarkoordinaten) r drdf

       integral   integral      integral  integral      t=g(t)  integral  integral         integral   integral 
I(G) =    dF =    d(x,y)  =      rdr df =    |detF'(u,v)|d(u,v)
       G       x,y             r,f         u,v